Mathe_Q2.1
Inhalt
Q2.1 Mathe⌗
sin/cos⌗
allgemeines⌗
$$ a \times sin(x) \rightarrow a = Amplitude \newline sin(b \times x) \rightarrow \frac{1}{b} = Wellenlänge / b = Frequenz \newline sin(x-c) \rightarrow x = Verschiebung (X) \newline sin(x)+d \rightarrow d = Verschiebung(Y) $$$$ allgemeiner \space Wertebereich: \newline (-a-d; a+d) $$
Ableitungen⌗
$$ (sin(x))’=cos(x) \times x \newline (cos(x))’=-sin(x) \times x \newline (-sin(x))’=-cos(x) \times x \newline (-cos(x))’=sin(x) \times x $$
Integrale⌗
$$ \int sin(x) = -cos(x) \times \frac{1}{(x)’} + C \newline \int cos(x) = sin(x) \times \frac{1}{(x)’} + C \newline \int -sin(x) = cos(x) \times \frac{1}{(x)’} +C \newline \int -cos(x) = -sin(x) \times \frac{1}{(x)’} + C $$
Nullstellen⌗
Achte darauf, dass du bei Berechnungen mit dem sinus im Bogenmaß bist!
Aus der Formelsammlung lässt sich entnehmen, dass für den sinus gilt:
$$ sin(x_{n}) \newline x_{n} = k \pi $$
, wobei x die Nullstelle und k der “Nullstellenzähler” ist.
Für den cosinus gilt:
$$ cos( x_{n} ) = 0 \newline x_{n} = (2k + 1) \times \frac{\pi}{2} $$
Der Teil in der Klammer verhindert, dass gerade Zahlen entstehen.
Für x kann man jeden beliebeigen Term einsetzen.
Beispiel⌗
für die erste Nullstelle (k=1): $$ cos(\frac{\pi}{12} \times t) = 0 \newline x_n = (2 + 1) \times \frac{\pi}{2} \newline \frac{\pi}{12} \times t = 3 \times \frac{\pi}{2} \newline t = \frac{\frac{3 \pi}{2}}{\frac{\pi}{12}} \newline t = 18 \newline cos(\frac{\pi}{12} \times 18) = 0 $$
Exponentialfunktionen⌗
allgemeines⌗
$$ f(x) = b \times a^{c \times x +d} +e \newline a = Basis \newline b = Y-Schnittstelle \space (Anfangsbestand) \newline c = Exponentialfaktor \space (beeinflusst \space Steigung) \newline d = X-Verschiebung \newline e = Y-Verschiebung $$
Potenzgesetze⌗
$$ \frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m} \newline a^{n} \times a^{m} = a^{n+m} \newline a^{n^{m}} = a^{n \times m} \newline \frac{a^{n}}{b^{n}} = (\frac{a}{b})^{n} \newline a^n \times b^n = (a \times b)^n \newline \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{n}{m}} $$
Formansatz⌗
$$ F(x) = (ax + b) e^x \newline f(x) = (4x-4) \times e^{2x} \newline F’(x) = ae^{2x} + (ax + b) \times 2e^{2x} \newline = e^{2x}(2ax+2b+a) \newline F’(x) = f(x) \newline e^{2x}(2ax + 2b + a) = e^{2x}(4x -4) \newline 2ax = 4x \rightarrow a = 2\newline 2b + a = -4 \rightarrow b = -3 \newline F(x) = e^{2x}(2x -3) $$
- Die allgemeine Stammfunktion ableiten und so umformen, dass sie gut zueinander passen
- Die Ableitung und die Ausgangfunktion gleichsetzen
- Koeffizienten bestimmen /vergleichen
Logarithmen⌗
$$ a^b=c \newline b = log_a(c) $$
Eulersche Zahl⌗
e, oder die eulersche Zahl ist die Zahl, bei der gilt:
$$ e^x = (e^x)’ = \int e^x \space dx $$