Themen⌗

• Integrieren

  • graphisch

  • algebraisch

  • Logarithmen /e-Funktionen

  • lineare Substitution

• Fläche zwischen 2 Graphen

  • Sachaufgaben

  • 3D

• Nullstellen und Schnittpunkte berechnen

• Parameteraufgaben

• Bestandsrekonstruktionen

  • Geschwindigkeit -> Weg

  • Wachstumsrate -> Höhe/ Population

  • Anfangswerte

• Modellieren

(Alles kann auch im hilfsmittelfreien Teil abgefragt werden)

Integrieren⌗

Integrieren ist die gegensätzliche Aktion zum Ableiten. Beim Ableiten wird der Grad der Funktion um 1. Grad geringer, beim Integrieren wird der Grad um 1. Grad erhöht.

Bsp:

$$ f(x)= x²$$

$$F(x)= \frac{1}{3}x³+c$$

Wenn man die Stammfunktion F(x) ableitet muss dabei die Ausgangsfunktion f(x) rauskommen. C ist dabei die Konstante, die beim Ableiten wegfällt. Häufig spricht man von $$I_0$$ oder $$A_0$$, das sind die besonderen Stammfunktionen, bei denen gilt:

$$I_0(0)=0$ oder $A_0(0)= 0$$

Häufig ergibt sich $c$ aus dem Sachzusammenhang.

Im Sachzusammenhang lässt sich aus der Geschwindigkeitsfunktion über das Ableiten die Beschleunigungsfunktion errechenen und über das Integrieren die Ortsfunktion.

Beispiele für das Integrieren:

• $$x³ = [ \frac{1}{4}x⁴]’$$

• $$\sqrt[3]{x²} = x^{\frac{2}{3}} = [\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}]’$$

• $$e^{x}= [e^x]’$$

• $$e^{2+4x} = (2+4x)’ \times x^{2+4x} = 4 \times e^{2+x}$$

Rechenregeln der Integrale⌗

• Potenzregel

  $$\int(x^n)dx = \frac{x^{n-1}}{n+1}+C$$

  $${n \epsilon \mathbb{Z}, n \neq -1}$$

• Summenregel

  $$\int(f(x)+g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx = F(x)+G(x)$$

• Faktorregel

  $$\int (a \times f(x)dx = a \times \int f(x)dx = a\times F(x)$$

  $$a \epsilon \mathbb{R}$$

• Exponentialregel

  $$\int (e^x)dx = e^x+C$$

• Sinus- /Cosinussatz

  $$\int sin(x)dx = -cos(x)+C$$

  $$\int cos(x)dx = sin(x)+C$$

Bestimmte Integrale⌗

Besimmt Integrale sind die Fläche zwischen der X-Achse und dem Graphen im bestimmten Intervall.

$$\int^{a}_{b}(x)dx$$

b ist hierbei die untere Grenze und a die obere Grenze.

Besimmte integrale werden berechnet, indem man die Stammfunktion mit den eingesetzten Werten der unteren Grenze (b) von der Stammfunktion mit den Werten der oberen Grenze (a) subtrahiert.

$$\int^{a}_bf(x)dx = [F(x)]^{a}_b = [F(a)] - [F(b)]$$

Fläche zwischen 2 Graphen⌗

Um die Fläche zwischen 2 Graphen zu berechen subtrahiert man das Integral (die Fläche) des unteren Graphen von dem Integral des oberen Graphen.

Um hierbei die Position der Graphen zueinander vernachlässigen zu können nutz man hier Betragsstriche.

$$A_{ges} = \int |f(x)| - |g(x)|dx$$

Die Position im Verhältnis zur x-Achse kann hierbei auch vernachlässigt werden, die Graphen müssen also nicht verschoben werden um im positiven Bereich zu liegen.

Gut zu wissen⌗

Logarithmen⌗

es gilt für

$$a = b^x$$

dass

$$x = \log_b(a)$$

e-Funktionen⌗

$$(e^{x})’ = e^x \times (x)’$$

$$\int e^x = e^x \div (x)’$$